Salut din nou! 👋 Excelent că vrei să continui. Paralelogramul e „piesa de bază" a patrulaterelor convexe: dacă îl înțelegi pe el, dreptunghiul, rombul și pătratul devin cazuri particulare. Hai să-l luăm pas cu pas!
• --
Definiție: Un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două.
Cu alte cuvinte, dacă notăm vârfurile ABCD în ordine, atunci:
AB \parallel CD \quad \text{și} \quad BC \parallel AD
👉 Marcajele mici (liniuțele) arată laturile paralele.
• --
Dacă ABCD este paralelogram, atunci sunt adevărate simultan:
1. Laturile opuse sunt congruente (egale):
AB = CD \quad \text{și} \quad BC = AD
2. Unghiurile opuse sunt congruente:
\angle A = \angle C \quad \text{și} \quad \angle B = \angle D
3. Unghiurile alăturate sunt suplementare (împreună fac 180^\circ ):
\angle A + \angle B = 180^\circ, \quad \angle B + \angle C = 180^\circ, \dots
4. Diagonalele se înjumătățesc reciproc (se taie la mijloc):
AO = OC \quad \text{și} \quad BO = OD
unde O = AC \cap BD .
• --
Ideea-cheie: trasăm diagonala AC . Ea împarte paralelogramul în două triunghiuri: \triangle ABC și \triangle CDA .
Comparăm \triangle ABC și \triangle CDA :
• AC este latură comună.
• \angle BAC = \angle DCA (unghiuri alterne interne, pentru că AB \parallel CD și AC e secantă).
• \angle BCA = \angle DAC (unghiuri alterne interne, pentru că BC \parallel AD ).
Conform cazului U.L.U. (unghi-latură-unghi), cele două triunghiuri sunt congruente:
\triangle ABC \equiv \triangle CDA
De aici decurg TOATE proprietățile:
• AB = CD și BC = AD (laturi corespondente) ✅
• \angle B = \angle D (unghiuri corespondente) ✅
• \angle A = \angle C (sumă de unghiuri congruente) ✅
Iar pentru diagonale: \triangle AOB \equiv \triangle COD (tot cu U.L.U.), deci AO = OC și BO = OD . ✅
💡 Morala: nu memorezi 4 proprietăți — memorezi o demonstrație și le deduci pe toate.
• --
Problemă: În paralelogramul ABCD , \angle A = 65^\circ . Află \angle B , \angle C , \angle D .
Pasul 1 — Ce știm?
• Unghiurile opuse sunt egale: \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
• Unghiurile alăturate sunt suplementare: \angle A + \angle B = 180^\circ .
Pasul 2 — Calculăm \angle C :
\angle C = \angle A = 65^\circ
Pasul 3 — Calculăm \angle B :
\angle A + \angle B = 180^\circ \;\Rightarrow\; 65^\circ + \angle B = 180^\circ \;\Rightarrow\; \angle B = 115^\circ
Pasul 4 — Calculăm \angle D :
\angle D = \angle B = 115^\circ
Pasul 5 — Verificare: 65 + 115 + 65 + 115 = 360^\circ . ✅ Corect!
\boxed{\angle B = \angle D = 115^\circ, \quad \angle C = 65^\circ}
• --
Formula: A = b \cdot h , unde:
• b = baza (o latură oarecare),
• h = înălțimea corespunzătoare bazei (distanța perpendiculară dintre bază și latura opusă).
• ��️ Atenție la greșeala frecventă: h NU este latura oblică! E segmentul perpendicular pe bază.
Exemplu: b = 8\ \text{cm} , h = 5\ \text{cm} .
A = 8 \cdot 5 = 40\ \text{cm}^2
• --
| Dacă paralelogramul are... | ...atunci este |
|---|---|
| un unghi drept | dreptunghi |
| toate laturile egale | romb |
| un unghi drept și toate laturile egale | pătrat |
Deci: dreptunghiul, rombul și pătratul sunt paralelograme speciale — au toate proprietățile paralelogramului, plus ceva în plus.
• --
Exercițiul 1. Într-un paralelogram ABCD , \angle B = 120^\circ . Află celelalte trei unghiuri.
> 💡 Indiciu: unghiurile opuse sunt egale, cele alăturate sunt suplementare.
Exercițiul 2. Un paralelogram are baza de 12\ \text{cm} și înălțimea corespunzătoare de 7\ \text{cm} . Calculează aria.
> 💡 Indiciu: A = b \cdot h . Atenție să folosești înălțimea, nu latura oblică!
Exercițiul 3. Într-un paralelogram, o diagonală are 10\ \text{cm} . Ce lungime are segmentul dintre vârf și punctul de intersecție al diagonalelor?
> 💡 Indiciu: diagonalele se înjumătățesc reciproc.
• --
Dacă vrei, continuăm cu dreptunghiul, rombul sau trapezul — spune-mi care te interesează și îl luăm pas cu pas. 😊