Perfect! Avem o matrice de ordinul 3 și trebuie să-i aflăm inversa. Hai să o rezolvăm pas cu pas, exact ca la clasă! 📐
• --
Să calculăm inversa matricei A , adică matricea A^{-1} cu proprietatea:
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_3
unde I_3 este matricea unitate de ordin 3.
• --
Pentru o matrice pătratică A , inversa există doar dacă \det(A) \neq 0 .
Formula de calcul:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^*
unde A^* este matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor).
Pașii de urmat:
1. Calculăm \det(A) (cu regula lui Sarrus).
2. Dacă \det(A) \neq 0 , calculăm matricea cofactorilor.
3. Transpunem matricea cofactorilor → obținem adjuncta A^* .
4. Împărțim fiecare element din A^* la \det(A) .
• --
Matricea noastră este:
A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix}
Pasul 1: Verificăm dacă e inversabilă (calculăm determinantul).
Pasul 2: Dacă da, calculăm cofactorii pentru fiecare element.
Pasul 3: Formăm adjuncta și împărțim la determinant.
• --
Scriem matricea și repetăm primele două coloane la dreapta:
\begin{vmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 6 & -1 \end{vmatrix}
Produsele pe diagonalele principale ( ↘ ):
• (-1) \cdot 1 \cdot (-1) = 1
• 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24
• 5 \cdot 0 \cdot 6 = 0
Suma: 1 + 24 + 0 = 25
Produsele pe diagonalele secundare ( ↙ ):
• 5 \cdot 1 \cdot 4 = 20
• (-1) \cdot 2 \cdot 6 = -12
• 3 \cdot 0 \cdot (-1) = 0
Suma: 20 + (-12) + 0 = 8
\det(A) = 25 - 8 = 17
Deci \det(A) = 17 \neq 0 → matricea este inversabilă. ✅
• --
Pentru fiecare element a_{ij} , cofactorul este:
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
unde M_{ij} este minorul (determinantul matricei rămase după eliminarea liniei i și coloanei j ).
Cofactorul C_{11} (eliminăm linia 1, coloana 1):
M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 6 = -1 - 12 = -13
C_{11} = (+1) \cdot (-13) = -13
Cofactorul C_{12} (eliminăm linia 1, coloana 2):
M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 = 0 - 8 = -8
C_{12} = (-1) \cdot (-8) = 8
Cofactorul C_{13} (eliminăm linia 1, coloana 3):
M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 0 \cdot 6 - 1 \cdot 4 = 0 - 4 = -4
C_{13} = (+1) \cdot (-4) = -4
Cofactorul C_{21} (eliminăm linia 2, coloana 1):
M_{21} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 5 \cdot 6 = -3 - 30 = -33
C_{21} = (-1) \cdot (-33) = 33
Cofactorul C_{22} (eliminăm linia 2, coloana 2):
M_{22} = \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - 5 \cdot 4 = 1 - 20 = -19
C_{22} = (+1) \cdot (-19) = -19
Cofactorul C_{23} (eliminăm linia 2, coloana 3):
M_{23} = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 6 - 3 \cdot 4 = -6 - 12 = -18
C_{23} = (-1) \cdot (-18) = 18
Cofactorul C_{31} (eliminăm linia 3, coloana 1):
M_{31} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1
C_{31} = (+1) \cdot 1 = 1
Cofactorul C_{32} (eliminăm linia 3, coloana 2):
M_{32} = \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 2 - 5 \cdot 0 = -2 - 0 = -2
C_{32} = (-1) \cdot (-2) = 2
Cofactorul C_{33} (eliminăm linia 3, coloana 3):
M_{33} = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 0 = -1 - 0 = -1
C_{33} = (+1) \cdot (-1) = -1
Matricea cofactorilor este:
C = \begin{pmatrix} -13 & 8 & -4 \\ 33 & -19 & 18 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}
• --
A^* = C^T = \begin{pmatrix} -13 & 33 & 1 \\ 8 & -19 & 2 \\ -4 & 18 & -1 \end{pmatrix}
• --
A^{-1} = \frac{1}{17} \cdot A^* = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} -13 & 33 & 1 \\ 8 & -19 & 2 \\ -4 & 18 & -1 \end{pmatrix}
\boxed{
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{13}{17} & \frac{33}{17} & \frac{1}{17} \ 4pt] \frac{8}{17} & -\frac{19}{17} & \frac{2}{17} \ 4pt] -\frac{4}{17} & \frac{18}{17} & -\frac{1}{17} \end{pmatrix}
}
• --
Ca să verifici dacă ai calculat corect, poți înmulți A \cdot A^{-1} și ar trebui să obții matricea unitate:
A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Exercițiu similar pentru tine:
Calculați inversa matricei:
B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}
Indiciu: Pentru o matrice 2×2, inversa este:
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
dacă B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} .
• --
Dacă ai orice întrebare pe parcurs, nu ezita să întrebi! 😊📐