Ce vei învăța
- Să înțelegi noțiunea de funcție ca pe o "mașinărie" care transformă un număr în altul.
- Să recunoști și să lucrezi cu funcția liniară (de forma \( f(x) = ax + b \)).
- Să reprezinți grafic o funcție liniară în sistemul de coordonate \( xOy \).
Explicația pe înțelesul tău
O funcție este ca o rețetă de bucătărie: bagi un ingredient (numărul de intrare) și, după o regulă precisă, obții un produs finit (numărul de ieșire). De exemplu, funcția "dublează numărul" transformă 3 în 6, 5 în 10 etc. Notăm: \( f(x) = 2x \), unde \( x \) este argumentul (intrarea), iar \( f(x) \) este valoarea funcției (ieșirea).
Funcția liniară este cea mai simplă funcție matematică, de forma:
\[
f(x) = ax + b
\]
- \( a \) se numește coeficient unghiular (sau pantă) și arată cât de "repede" crește sau scade funcția.
- \( b \) este termenul liber (sau ordonata la origine) și indică punctul în care graficul taie axa \( Oy \).
Reprezentarea grafică a unei funcții liniare este întotdeauna o linie dreaptă. Pentru a o desena, ai nevoie de doar două puncte (pentru că două puncte determină o dreaptă). De obicei, alegem:
- Punctul de intersecție cu axa \( Oy \): are coordonatele \( (0, b) \).
- Un alt punct, de exemplu \( x = 1 \), și calculăm \( f(1) = a \cdot 1 + b \).
Exemplu din viața reală: Prețul unei curse de taxi poate fi \( f(x) = 3x + 5 \), unde \( x \) este numărul de kilometri, 3 lei/km este tariful pe kilometru, iar 5 lei este taxa de pornire. Graficul arată cum crește prețul cu distanța.
Exemple rezolvate
Exemplul 1: Identificarea elementelor unei funcții liniare
Funcția \( f(x) = -2x + 7 \). Care sunt \( a \) și \( b \)?
*Raționament*: Comparăm cu forma generală \( f(x) = ax + b \). Observăm că \( a = -2 \) (coeficientul lui \( x \)) și \( b = 7 \) (termenul liber). Deci panta este negativă, funcția scade.
Exemplul 2: Reprezentarea grafică a funcției \( f(x) = 3x - 1 \)
*Raționament pas cu pas*
- Găsim intersecția cu axa \( Oy \): pentru \( x = 0 \), \( f(0) = 3 \cdot 0 - 1 = -1 \). Punctul A(0, -1).
- Alegem un al doilea punct, de exemplu \( x = 1 \): \( f(1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \). Punctul B(1, 2).
- Marcăm punctele A și B în sistemul de coordonate și trasăm dreapta care trece prin ele.
Exemplul 3: Aflarea lui \( a \) și \( b \) dintr-un grafic
Graficul unei funcții liniare trece prin punctele P(2, 5) și Q(0, 1). Care este funcția?
*Raționament*
- Folosim punctul Q(0, 1): deoarece \( x = 0 \), avem \( f(0) = b = 1 \). Deci \( b = 1 \).
- Folosim punctul P(2, 5): \( f(2) = a \cdot 2 + 1 = 5 \). Rezolvăm: \( 2a + 1 = 5 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2 \).
- Funcția este \( f(x) = 2x + 1 \).
Greșeli frecvente
- Confundarea axelor – Când desenezi graficul, nu uita că axa orizontală este \( Ox \) (pentru \( x \)), iar cea verticală este \( Oy \) (pentru \( f(x) \)). O greșeală comună este să pui valorile invers.
- Calculul greșit al lui \( b \) – Unii elevi cred că \( b \) este valoarea funcției pentru \( x = 1 \). De fapt, \( b \) este valoarea pentru \( x = 0 \). Verifică întotdeauna: \( f(0) = b \).
- Panta zero – Dacă \( a = 0 \), funcția devine \( f(x) = b \) (constantă). Graficul este o linie orizontală. Nu uita că aceasta este tot o funcție liniară, deși nu mai "urcă" sau "coboară".
Verifică-te!
- Întrebare: Funcția \( f(x) = 4x - 3 \). Care este valoarea lui \( f(2) \)?
*Indiciu*: Înlocuiește \( x \) cu 2 și calculează.
- Întrebare: Desenează graficul funcției \( f(x) = -x + 2 \). Prin ce puncte trece?
*Indiciu*: Alege \( x = 0 \) și \( x = 1 \) pentru a găsi două puncte.
- Întrebare: O funcție liniară are \( a = 5 \) și \( b = -2 \). Scrie forma funcției și spune ce reprezintă graficul ei.
*Indiciu*: Folosește formula generală \( f(x) = ax + b \).