Logica propozitiilor

Pe scurt

Logica propozițiilor studiază propozițiile declarative și modul în care acestea se combină prin conectori logici. Tabelele de adevăr sunt instrumente esențiale care definesc valoarea de adevăr a propozițiilor compuse. Legile logicii, precum legile lui De Morgan, permit transformarea și simplificarea formulelor logice.

Definiții fundamentale

Logica propozițiilor este ramura logicii formale care studiază propozițiile declarative (enunțuri care pot fi adevărate sau false) și modul în care acestea se combină prin conectori logici.

O propoziție atomică (sau simplă) este o afirmație de bază, cum ar fi „Plouă” sau „2+2=4”, care are o valoare de adevăr (V sau F). Pentru a reprezenta propozițiile, folosim litere mari (P, Q, R).

Conectorii logici principali

• Negația (¬, „non”)
• Conjuncția (∧, „și”)
• Disjuncția (∨, „sau”)
• Implicația (→, „dacă...atunci”)
• Echivalența (↔, „dacă și numai dacă”)

Tabelele de adevăr

Tabelele de adevăr sunt instrumente esențiale care definesc valoarea de adevăr a unei propoziții compuse pentru toate combinațiile posibile ale valorilor propozițiilor componente.

• Conjuncția P∧Q este adevărată doar când ambele sunt adevărate
• Disjuncția P∨Q este adevărată dacă cel puțin una este adevărată
• Implicația P→Q este falsă doar când P este adevărată și Q este falsă
• Echivalența P↔Q este adevărată când ambele au aceeași valoare de adevăr

Legile logicii propozițiilor

• Legile lui De Morgan: ¬(P∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q și ¬(P∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
• Dubla negație: ¬¬P ≡ P
• Comutativitatea
• Asociativitatea
• Distributivitatea
• Legile implicației: P→Q ≡ ¬P ∨ Q

Aceste legi permit transformarea și simplificarea formulelor logice.

Principii fundamentale

• Principiul non-contradicției: o propoziție nu poate fi simultan adevărată și falsă
• Principiul terțului exclus: o propoziție este fie adevărată, fie falsă

Aplicații în probleme

În problemele de Bacalaureat, se cere adesea

• Să se evalueze valoarea de adevăr a unei expresii
• Să se demonstreze echivalențe
• Să se construiască tabele de adevăr

Înțelegerea profundă a acestor concepte este fundamentală pentru raționamentul matematic și pentru informatică, deoarece stă la baza circuitelor logice și a programării.

Exemple

Exemplul 1: Fie P = „Astăzi este luni” și Q = „Plouă”. Să se construiască tabela de adevăr pentru formula (P ∨ Q) → (¬P).

Rezolvare: Se listează toate combinațiile de adevăr pentru P și Q (VV, VF, FV, FF). Se calculează P∨Q (adevărat dacă cel puțin unul este adevărat), apoi ¬P (negarea lui P). Apoi se aplică implicația: (P∨Q) → (¬P) este falsă doar când antecedentul (P∨Q) este adevărat și consecventul (¬P) este fals. Astfel:

• Pentru P=V, Q=V: P∨Q=V, ¬P=F, deci V→F=F
• Pentru P=V, Q=F: V→F=F
• Pentru P=F, Q=V: V→V=V
• Pentru P=F, Q=F: F→V=V

Rezultat: valorile sunt F, F, V, V.

Exemplul 2: Demonstrați echivalența ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q (legea lui De Morgan) folosind tabele de adevăr.

Rezolvare: Se construiesc tabelele pentru ambele părți

• (V,V): P∧Q=V, ¬(P∧Q)=F; ¬P=F, ¬Q=F, ¬P∨¬Q=F
• (V,F): P∧Q=F, ¬(P∧Q)=V; ¬P=F, ¬Q=V, ¬P∨¬Q=V
• (F,V): P∧Q=F, ¬(P∧Q)=V; ¬P=V, ¬Q=F, ¬P∨¬Q=V
• (F,F): P∧Q=F, ¬(P∧Q)=V; ¬P=V, ¬Q=V, ¬P∨¬Q=V

Se observă că pentru fiecare combinație, valorile sunt identice, deci echivalența este adevărată.

Exemplul 3: Să se determine valoarea de adevăr a propoziției: (P → Q) ∧ (Q → P) știind că P = „x>5” și Q = „x<10”, pentru x=7.

Rezolvare: Pentru x=7, P este adevărat (7>5), Q este adevărat (7<10). Calculăm P→Q: Adevărat→Adevărat = Adevărat. Q→P: Adevărat→Adevărat = Adevărat. Conjuncția Adevărat∧Adevărat = Adevărat. Deci propoziția este adevărată.

Verifică-te!

1. Care sunt cei cinci conectori logici principali și cum se notează fiecare?

1. În ce condiție este falsă implicația P→Q?

1. Ce afirmă prima lege a lui De Morgan?