Logica propozițiilor studiază modul în care propozițiile simple se combină pentru a forma propoziții compuse, folosind conectori logici precum conjuncția (∧), disjuncția (∨), negația (¬), implicația (→) și echivalența (↔). Pentru a simplifica sau transforma expresii logice, sunt esențiale câteva legi fundamentale.
- Comutativitatea: Afirmă că ordinea termenilor nu afectează valoarea de adevăr: p ∧ q ≡ q ∧ p și p ∨ q ≡ q ∨ p. De exemplu, „Plouă și ninge” este echivalent cu „Ninge și plouă”.
- Asociativitatea: Permite gruparea diferită a termenilor fără a schimba rezultatul: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) și (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r). Aceasta este utilă când avem mai mulți conectori de același tip.
- Distributivitatea: Leagă conjuncția de disjuncție, similar înmulțirii față de adunare în algebră: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) și p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Important: distributivitatea funcționează în ambele sensuri.
- Legile lui De Morgan: Transformă negația unor expresii compuse: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q și ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. Cu alte cuvinte, negația unei conjuncții este o disjuncție de negații, iar negația unei disjuncții este o conjuncție de negații.
- Principiul dublei negații: Dubla negație se anulează: ¬¬p ≡ p. De exemplu, „Nu este adevărat că nu plouă” înseamnă „Plouă”.
Aceste legi sunt utilizate frecvent în simplificarea expresiilor logice, în demonstrarea validității argumentelor și în programare (de exemplu, în condiții booleene). În cadrul Bacalaureatului, elevii trebuie să aplice corect aceste legi pentru a transforma propoziții și a stabili echivalențe logice.
Exemple
- Exemplul 1 (comutativitate și asociativitate): Fie p = „Soarele strălucește”, q = „Vântul bate”, r = „Ploaia cade”. Propoziția p ∧ (q ∧ r) este echivalentă cu (p ∧ q) ∧ r (asociativitate) și cu (q ∧ p) ∧ r (comutativitate). Dacă p adevărat, q adevărat, r fals, atunci valoarea este falsă indiferent de ordine.
- Exemplul 2 (distributivitate): Demonstrați că (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) este echivalentă cu p ∨ (q ∧ r). Construim tabela de adevăr: când p = A, ambele expresii sunt A; când p = F, prima expresie devine (q) ∧ (r) iar a doua devine q ∧ r, deci echivalente. Sau folosim distributivitatea: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
- Exemplul 3 (legile lui De Morgan și dubla negație): Fie expresia ¬(¬p ∧ ¬q). Aplicând De Morgan: ¬(¬p ∧ ¬q) ≡ ¬¬p ∨ ¬¬q ≡ p ∨ q (conform dublei negații). Astfel, „Nu este adevărat că nici p nici q” este echivalent cu „p sau q”.
Concepte cheie: Comutativitatea conjuncției și disjuncției, Asociativitatea conjuncției și disjuncției, Distributivitatea conjuncției față de disjuncție și invers, Legile lui De Morgan pentru negația conjuncției și disjuncției, Principiul dublei negații