Pe scurt
Integrala definită permite calculul ariilor suprafețelor plane și al volumelor corpurilor de rotație, fiind un instrument esențial pentru pregătirea Bacalaureatului. Formula de bază pentru aria sub o curbă este A = ∫_a^b |f(x)| dx, iar pentru volumele corpurilor de rotație în jurul axei Ox se utilizează V = π ∫_a^b [f(x)]^2 dx. Aplicarea corectă necesită identificarea limitelor de integrare și alegerea metodei potrivite de integrare.
Aria sub curba unei funcții
Pentru a calcula aria unei regiuni mărginite de graficul unei funcții continue f(x) pe intervalul [a, b], axa Ox și dreptele verticale x = a și x = b, se utilizează formula:
- A = ∫_a^b |f(x)| dx
- Dacă funcția este pozitivă pe interval, modulul poate fi omis
Aria dintre două curbe
În cazul a două funcții f(x) și g(x), cu f(x) ≥ g(x) pe [a, b], aria dintre grafice este:
- A = ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx
- Limitele de integrare se determină prin rezolvarea ecuației f(x) = g(x) pentru a afla punctele de intersecție
Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox
Considerăm un corp obținut prin rotația graficului unei funcții f(x) în jurul axei Ox, pe intervalul [a, b]:
- Volumul se calculează prin metoda discurilor: V = π ∫_a^b [f(x)]^2 dx
- Dacă rotația se face în jurul axei Oy, se utilizează metoda carcasei cilindrice (mai rar întâlnită la Bac)
Volumul corpului de rotație între două curbe
Un caz special este volumul corpului obținut prin rotația regiunii dintre două curbe:
- V = π ∫_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx, unde f(x) ≥ g(x) ≥ 0
Aspecte teoretice importante
- Funcțiile trebuie să fie continue și integrabile pe intervalul considerat
- Se cere interpretarea geometrică și utilizarea proprietăților integralei definite: liniaritate, additivitate, schimbarea variabilei
- O dificultate frecventă este alegerea corectă a metodei de integrare (de exemplu, integrarea prin părți pentru funcții produs)
- Verificarea rezultatelor prin simetrie sau aproximare numerică este recomandată
Exemple rezolvate
- Exemplul 1: Calculați aria mărginită de graficul funcției f(x) = x^2 - 4x + 3 și axa Ox, pe intervalul [1, 3]
- Determinăm punctele de intersecție cu axa Ox:
x^2 - 4x + 3 = 0 →
x = 1 și
x = 3
- Pe intervalul [1,3], funcția este negativă, deci aria = ∫_1^3 |x^2 - 4x + 3| dx = -∫_1^3 (x^2 - 4x + 3) dx
- Calculăm integrala: ∫_1^3 (x^2 - 4x + 3) dx = [x^3/3 - 2x^2 + 3x]_1^3 = (27/3 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3) = (9 - 18 + 9) - (1/3 + 1) = 0 - 4/3 = -4/3
- Deci aria = -(-4/3) = 4/3 u.a.
- Exemplul 2: Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției f(x) = √x, pe intervalul [0, 4]
- Folosim formula **V = π ∫_0^4 [√x]^2 dx = π ∫_0^4 x dx = π [x^2/2]_0^4 = π * (16/2 - 0) = 8π u.v.
Exemplul 3
: Calculați aria dintre graficele funcțiilor f(x) = sin x
și g(x) = 1/2
, pe intervalul [π/6, 5π/6]
- Pe acest interval,
sin x ≥ 1/2
(verificăm: sin(π/6)=1/2, sin(5π/6)=1/2, iar la mijloc sin(π/2)=1 > 1/2)
-
Aria = ∫_{π/6}^{5π/6} (sin x - 1/2) dx = [-cos x - x/2]_{π/6}^{5π/6} = (-cos(5π/6) - (5π/6)/2) - (-cos(π/6) - (π/6)/2) = (-(-√3/2) - 5π/12) - (-(√3/2) - π/12) = (√3/2 - 5π/12) - (-√3/2 - π/12) = √3/2 - 5π/12 + √3/2 + π/12 = √3 - 4π/12 = √3 - π/3 u.a.**
Verifică-te!
- Care este formula pentru calculul ariei dintre două curbe f(x) și g(x), unde f(x) ≥ g(x) pe intervalul [a, b]?
- Ce metodă se utilizează pentru calculul volumului unui corp obținut prin rotația graficului unei funcții în jurul axei Ox?
- Cum se determină limitele de integrare atunci când se calculează aria dintre două curbe?