Logica propozitiilor

Logica propozitiilor este ramura logicii matematice care studiază propozițiile (enunțuri declarative care pot fi adevărate sau false) și modul în care acestea se combină prin conectivi logici pentru a forma propoziții compuse. În cadrul logicii propoziționale, fiecare propoziție simplă este notată cu o literă (de exemplu, p, q, r) și poate avea valoarea de adevăr A (adevărat) sau F (fals). Conectivii logici fundamentali sunt: negația (¬), conjuncția (∧), disjuncția (∨), implicația (→) și echivalența (↔).

Negația inversează valoarea de adevăr a unei propoziții; conjuncția este adevărată doar dacă ambele propoziții sunt adevărate; disjuncția este adevărată dacă cel puțin una dintre propoziții este adevărată; implicația este falsă doar când antecedentul este adevărat și consecventul fals; echivalența este adevărată când ambele propoziții au aceeași valoare de adevăr. O formulă logică este o expresie bine formată care combină variabile propoziționale și conectivi. Tabelele de adevăr sunt instrumente esențiale pentru a determina valoarea de adevăr a unei formule pentru toate combinațiile posibile ale variabilelor.

Legile logicii propoziționale includ: comutativitatea, asociativitatea, distributivitatea, legile lui De Morgan (¬(p∧q) ≡ ¬p ∨ ¬q și ¬(p∨q) ≡ ¬p ∧ ¬q), dubla negație (¬¬p ≡ p), și legea implicației (p→q ≡ ¬p ∨ q). În cadrul examenului de Bacalaureat, elevii trebuie să poată construi tabele de adevăr, să simplifice expresii logice, să verifice tautologii (formule întotdeauna adevărate) și contradicții (formule întotdeauna false), și să rezolve probleme de raționament logic. O tautologie celebră este principiul terțului exclus (p ∨ ¬p).

Logica propozițiilor stă la baza raționamentului matematic și a informaticii, fiind folosită în proiectarea circuitelor digitale și în verificarea corectitudinii algoritmilor.

Exemple

• Exemplul 1: Construiți tabela de adevăr pentru formula (p ∧ q) → r. Calculăm: pentru p=A, q=A, r=A => (A∧A)=A, A→A=A; pentru p=A, q=A, r=F => A→F=F; pentru p=A, q=F, r=A => (A∧F)=F, F→A=A; p=A, q=F, r=F => F→F=A; p=F, q=A, r=A => (F∧A)=F, F→A=A; p=F, q=A, r=F => F→F=A; p=F, q=F, r=A => F→A=A; p=F, q=F, r=F => F→F=A. Rezultatul este F doar când p și q sunt adevărate, iar r este fals.
• Exemplul 2: Simplificați expresia ¬(p ∨ (¬p ∧ q)). Aplicăm legea lui De Morgan: ¬(p ∨ (¬p ∧ q)) ≡ ¬p ∧ ¬(¬p ∧ q). Apoi ¬(¬p ∧ q) ≡ ¬(¬p) ∨ ¬q ≡ p ∨ ¬q (prin dublă negație și De Morgan). Deci expresia devine ¬p ∧ (p ∨ ¬q). Aplicăm distributivitatea: (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ F ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ ¬p ∧ ¬q. Așadar, forma simplificată este ¬p ∧ ¬q.
• Exemplul 3: Verificați dacă formula (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) este o tautologie. Construim tabela de adevăr: liniile în care (p→q) și (q→r) sunt ambele adevărate: dacă p→q=A și q→r=A, atunci când p=A, q trebuie să fie A, iar r=A → p→r=A; când p=F, indiferent de q și r, p→r=A. Deci în toate cazurile, concluzia p→r este A. Verificăm și cazurile în care premisele sunt false: atunci întreaga implicație (premise → concluzie) este A deoarece antecedentul fals face implicația adevărată. Așadar formula este o tautologie, cunoscută ca silogismul ipotetic.

Concepte cheie: Propoziție și valoare de adevăr, Conectivi logici (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), Tabel de adevăr, Tautologie și contradicție, Legi logice (De Morgan, comutativitate, asociativitate, distributivitate, dublă negație), Echivalență logică, Principiul terțului exclus, Silogismul ipotetic