Algebra: matrici, determinanti, sisteme liniare

Matricele sunt tablouri dreptunghiulare de numere (reale sau complexe) aranjate pe linii și coloane. O matrice cu m linii și n coloane se numește matrice de tip (m x n). Notația uzuală este A = (a_ij), unde i indică linia, iar j coloana.

Operațiile fundamentale cu matrice includ: adunarea (se adună elementele corespunzătoare, doar pentru matrice de același tip), înmulțirea cu un scalar, și înmulțirea a două matrice (posibilă doar dacă numărul coloanelor primei matrice egal cu numărul liniilor celei de-a doua). Determinantul este o funcție care asociază unui pătrat (matrice pătratică) un număr real/complex. Pentru o matrice de ordin 2: det(A) = a11*a22 - a12*a21.

Pentru ordinul 3, se poate calcula prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după linii/coloane. Proprietăți importante: det(A*B)=det(A)*det(B), det(A^T)=det(A), iar dacă o matrice are două linii proporționale sau o linie nulă, determinantul este zero. Sistemele liniare se scriu sub formă matriceală: A*x = b, unde A este matricea coeficienților, x vectorul necunoscutelor, b vectorul termenilor liberi.

Rezolvarea se poate face prin metoda lui Cramer (dacă det(A) ≠ 0, atunci x_i = det(A_i)/det(A), unde A_i se obține înlocuind coloana i cu b), prin eliminare gaussiană (transformări elementare: interschimbare de linii, înmulțire cu scalar nenul, adunare a unui multiplu al unei linii la alta) sau prin calculul inversei (x = A^(-1)*b, dacă A este inversabilă, adică det(A) ≠ 0). Un sistem se numește omogen dacă b = 0; acesta are întotdeauna soluția banală x=0; dacă det(A)=0, există și soluții nebanale. În funcție de rangul matricei A și rangul matricei extinse (A|b), sistemul poate fi compatibil determinat (soluție unică), compatibil nedeterminat (infinit de soluții) sau incompatibil (fără soluție).

Exemple

• Exemplul 1 (Matrice și operații): Fie A = [[1, 2], [3, 4]] și B = [[5, 6], [7, 8]]. Calculați A+B, 2A și A*B. Rezolvare: A+B = [[6, 8], [10, 12]]. 2A = [[2, 4], [6, 8]]. A*B = [[1*5+2*7, 1*6+2*8], [3*5+4*7, 3*6+4*8]] = [[19, 22], [43, 50]].
• Exemplul 2 (Determinant de ordin 3): Calculați det(A) pentru A = [[2, -1, 3], [0, 5, 2], [1, 1, -2]]. Rezolvare (regula lui Sarrus): Scriem primele două coloane la dreapta: 2, -1, 3, 2, -1; 0, 5, 2, 0, 5; 1, 1, -2, 1, 1. Suma produselor pe diagonalele principale: 2*5*(-2) + (-1)*2*1 + 3*0*1 = -20 -2 + 0 = -22. Suma produselor pe diagonalele secundare: 3*5*1 + 2*2*1 + (-1)*0*(-2) = 15 + 4 + 0 = 19. Det = -22 - 19 = -41.
• Exemplul 3 (Sistem liniar prin metoda lui Cramer): Rezolvați sistemul: 2x + y = 5, 3x - 2y = 4. A = [[2, 1], [3, -2]], det(A) = 2*(-2) - 1*3 = -4 - 3 = -7 ≠ 0. A_x = [[5, 1], [4, -2]], det(A_x) = 5*(-2) - 1*4 = -10 - 4 = -14, deci x = (-14)/(-7) = 2. A_y = [[2, 5], [3, 4]], det(A_y) = 2*4 - 5*3 = 8 - 15 = -7, deci y = (-7)/(-7) = 1. Soluția: x=2, y=1.

Concepte cheie: Matrice și operații (adunare, înmulțire, scalar), Determinant (proprietăți, calcul Sarrus/Laplace), Sisteme liniare (Cramer, Gauss, rang, compatibilitate)