Derivate si aplicatii (monotonie, extreme, concavitate)

Derivata unei functii reale definita pe un interval este instrumentul fundamental pentru analiza comportamentului local si global al functiei. Fie f : I → R, derivabila pe intervalul I. Derivata f'(x) masoara rata de variatie a functiei in punctul x.

Pentru studiul monotoniei, teorema fundamentala spune: daca f'(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ I, atunci f este crescatoare pe I; daca f'(x) ≤ 0, atunci f este descrescatoare pe I. Daca strict inegalitati, monotonia este stricta. Punctele critice sunt acelea unde f'(x) = 0 sau f'(x) nu exista (dar in general la liceu consideram doar derivate finite).

Pentru extreme locale, folosim criteriul derivatei intai: daca f' exista si se anuleaza in x0, iar semnul lui f' se schimba de la + la -, atunci x0 este punct de maxim local; de la - la +, punct de minim local. Daca semnul nu se schimba, nu avem extrem. Criteriul derivatei a doua: daca f'(x0)=0 si f''(x0) > 0, atunci x0 este minim local; daca f''(x0) < 0, maxim local; daca f''(x0)=0, criteriul nu decide si se revine la prima derivata.

Pentru concavitate, derivata a doua f''(x) ne spune: daca f''(x) ≥ 0 pe un interval, functia este convexa (concava in sus) pe acel interval; daca f''(x) ≤ 0, functia este concava (concava in jos). Punctele unde f''(x) se anuleaza si isi schimba semnul sunt puncte de inflexiune. Aplicatiile includ determinarea intervalelor de monotonie, a extremelor locale si globale (pe un interval inchis, extremele pot fi la capete sau in puncte critice), a intervalelor de convexitate/concavitate si a punctelor de inflexiune.

Aceste notiuni sunt esentiale pentru trasarea graficului unei functii si pentru rezolvarea problemelor de optimizare, frecvent intalnite la Bacalaureat.

Exemple

• Exemplul 1: Studiati monotonia si extremele functiei f(x)=x³-3x+2, x∈R. Rezolvare: f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1). Egaland cu 0 obtinem x=-1 si x=1. Facem tabel de semn: pentru x<-1, f'(x)>0 (crescatoare); intre -1 si 1, f'(x)<0 (descrescatoare); pentru x>1, f'(x)>0 (crescatoare). x=-1 este maxim local, f(-1)=4; x=1 este minim local, f(1)=0. Nu exista extreme globale deoarece functia tinde la +∞ cand x→∞ si la -∞ cand x→-∞.
• Exemplul 2: Determinati intervalele de convexitate si punctele de inflexiune pentru f(x)=x⁴-4x³+6x²-2. Rezolvare: f'(x)=4x³-12x²+12x=4x(x²-3x+3). f''(x)=12x²-24x+12=12(x²-2x+1)=12(x-1)². f''(x)≥0 pentru orice x (egal cu 0 doar in x=1), deci functia este convexa pe R si nu are punct de inflexiune, deoarece nu schimba semnul. In x=1 avem f''(1)=0, dar nu este inflexiune.
• Exemplul 3: Aflati extremele locale ale functiei f(x)=x²·e^{-x} pe R. Rezolvare: Domeniu R. f'(x)=2x·e^{-x}+x²·(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x²)=e^{-x}·x(2-x). f'(x)=0 ⇒ x=0 sau x=2. f'(x) semn: e^{-x}>0, deci semnul dat de x(2-x). Pentru x<0, x(2-x)<0 ⇒ f'(x)<0; intre 0 si 2, >0; pentru x>2, <0. Deci x=0 este minim local (f(0)=0), x=2 este maxim local (f(2)=4e^{-2}=4/e²).

Concepte cheie: Derivata ca rata de variatie si interpretare geometrica, Teorema de monotonie: semnul derivatei intai, Puncte critice si criterii pentru extreme locale (derivata I si II), Concavitate si convexitate: semnul derivatei a doua, Puncte de inflexiune, Extreme globale pe interval inchis