Trigonometrie: Functii, identitati, ecuatii trigonometrice

Pe scurt

Trigonometria studiază relațiile dintre laturile și unghiurile triunghiurilor, având aplicații în geometrie, fizică, inginerie și analiză matematică. Funcțiile trigonometrice de bază sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, definite pe cercul trigonometric cu raza 1. Identitățile fundamentale și proprietățile de periodicitate stau la baza rezolvării ecuațiilor trigonometrice.

Funcții trigonometrice pe cercul trigonometric

• Cercul trigonometric are raza 1 și centrul în origine; un unghi θ (măsurat în radiani) are punctul corespunzător pe cerc (cos θ, sin θ).
• Funcțiile trigonometrice de bază: sinus (sin), cosinus (cos), tangentă (tan) și cotangentă (cot).
• Periodicitatea: perioada pentru sin și cos este 2π, pentru tan și cot este π.
• Valori uzuale ale funcțiilor pentru unghiuri: 0, π/6, π/4, π/3, π/2 etc.
• Funcțiile inverse (arcsin, arccos, arctan) permit determinarea unghiurilor din valori numerice.

Identități trigonometrice fundamentale

• Identitatea pitagoreică: sin²θ + cos²θ = 1
• Alte identități de bază: 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ

Identități pentru suma și diferența unghiurilor

• sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
• cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
• tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)

Identități pentru unghi dublu

• sin 2θ = 2 sin θ cos θ
• cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2 sin²θ
• tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)

Transformarea sumei în produs

• sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
• sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
• cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
• cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Ecuații trigonometrice

• Metode principale de rezolvare:

- Ridicarea la pătrat (cu verificare)

- Factorizarea

• Soluțiile generale se scriu sub forma x = x₀ + k·perioada, unde k ∈ ℤ.
• Rezolvarea pe interval dat se face prin reducere la funcții elementare, folosind identități și proprietăți de periodicitate.

Exemple

• Exemplul 1: Rezolvați ecuația sin x = 1/2 pe intervalul [0, 2π). Știind că sin(π/6) = 1/2, soluțiile fundamentale sunt x = π/6 și x = π - π/6 = 5π/6 (deoarece sinusul este pozitiv în cadranele I și II). Asadar, S = {π/6, 5π/6}.
• Exemplul 2: Demonstrați identitatea sin²x + cos²x = 1. Folosim cercul trigonometric: pentru un punct (cos x, sin x) pe cercul x² + y² = 1, rezultă cos²x + sin²x = 1. Această identitate este valabilă pentru orice x real.
• Exemplul 3: Rezolvați ecuația cos 2x = cos x, x ∈ [0, 2π). Folosind identitatea cos 2x = 2cos²x - 1, ecuația devine 2cos²x - 1 = cos x, sau 2cos²x - cos x - 1 = 0. Notăm t = cos x, obținem 2t² - t - 1 = 0, cu soluțiile t = 1 sau t = -1/2. Pentru t = 1: cos x = 1 => x = 0; pentru t = -1/2: cos x = -1/2 => x = 2π/3 și x = 4π/3. Soluțiile: x = 0, 2π/3, 4π/3.

Verifică-te!

1. Care este perioada funcției sinus și care este perioada funcției tangentă?
2. Scrieți identitatea pentru cos 2θ în două forme diferite, folosind doar cos²θ sau sin²θ.
3. Enumerați trei metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.