Radacina patrata a unui numar natural (radical)

Radacina pătrată a unui număr natural n (notata √n) este acel număr pozitiv care, ridicat la puterea a doua, dă n. Cu alte cuvinte, √n = x dacă și numai dacă x ≥ 0 și x² = n. De exemplu, √36 = 6 deoarece 6² = 36.

Din punct de vedere geometric, rădăcina pătrată a unui număr reprezintă lungimea laturii unui pătrat a cărui arie este acel număr. Pentru numerele naturale care sunt pătrate perfecte (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 etc.), rădăcina pătrată este un număr natural. De exemplu, √81 = 9, deoarece 9 × 9 = 81.

Dacă numărul nu este un pătrat perfect, rădăcina pătrată este un număr irațional (cu zecimale infinite neperiodice), cum ar fi √2 ≈ 1,414..., și nu poate fi exprimată exact ca fracție sau ca număr zecimal finit. Procesul de găsire a rădăcinii pătrate se numește extragerea rădăcinii pătrate. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr natural care nu este pătrat perfect, putem folosi aproximări succesive: de exemplu, pentru √20, știm că 4² = 16 și 5² = 25, deci √20 este între 4 și 5; încercăm 4,5² = 20,25, puțin prea mare, apoi 4,47² ≈ 19,98, deci √20 ≈ 4,47.

Proprietăți importante: (1) √(a·b) = √a · √b, pentru a,b ≥ 0; de exemplu, √(4·9) = √36 = 6, iar √4·√9 = 2·3 = 6. (2) √(a/b) = √a / √b, pentru a ≥ 0 și b > 0. (3) Rădăcina pătrată a unui număr natural este întotdeauna un număr nenegativ; √n ≥ 0. (4) Dacă n = m², atunci √n = m. (5) Pentru orice număr natural n, (√n)² = n. Când avem expresii de forma √(a²) = |a|, adică valoarea absolută a lui a, deoarece rădăcina pătrată dă un rezultat nenegativ. De exemplu, √((-5)²) = √25 = 5 = |−5|.

În cazul numerelor mari, putem descompune numărul în factori primi pentru a simplifica radicalul. De exemplu, √72 = √(36·2) = √36 · √2 = 6√2. Aceasta se numește scoaterea factorilor de sub radical.

Nu uitați: radicalul se aplică doar numerelor nenegative în mulțimea numerelor reale; rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în mulțimea numerelor reale. In concluzie, rădăcina pătrată este o operație fundamentală în matematică, utilizată în geometrie (teorema lui Pitagora, calculul ariei), în algebră, fizică și în viața de zi cu zi.

Exemple

• Exemplul 1: Calculați √144. Rezolvare: 144 este pătrat perfect, deoarece 12 × 12 = 144. Așadar, √144 = 12. Verificare: 12² = 144. Răspuns: 12.
• Exemplul 2: Simplificați √50, scotând factorii de sub radical. Rezolvare: Descompunem 50 în factori primi: 50 = 2 × 5². Observăm că 5² = 25 este pătrat perfect. Atunci √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. Răspuns: 5√2.
• Exemplul 3: Estimați √30 cu o zecimală. Rezolvare: Știm că 5² = 25 și 6² = 36, deci √30 este între 5 și 6. Încercăm 5,5² = 30,25, ușor peste 30. Încercăm 5,4² = 29,16, prea mic. Încercăm 5,47² ≈ 29,92; 5,48² ≈ 30,03. Deci cea mai apropiată zecimală este 5,5 (deoarece 5,5² = 30,25 este mai aproape de 30 decât 5,4² = 29,16). Răspuns: aproximativ 5,5.

Concepte cheie: Rădăcina pătrată √n este numărul nenegativ x astfel încât x² = n., Pătrate perfecte: numere naturale de forma k² (1,4,9,16,25,...)., Proprietăți: √(a·b) = √a · √b și √(a/b) = √a / √b (a,b≥0, b>0)., Scoaterea factorilor de sub radical: descompunerea în factori primi., √(a²) = |a| (valoarea absolută).