Fractii zecimale periodice

Fracțiile zecimale periodice sunt un tip special de numere zecimale în care, după virgulă, o anumită cifră sau un grup de cifre se repetă la infinit. De exemplu, 0,333... (0,(3)) sau 0,142857142857... (0,(142857)). Perioada este grupul de cifre care se repetă și se notează între paranteze.

Există două tipuri: periodice simple, când perioada începe imediat după virgulă (de exemplu, 0,(3)), și periodice mixte, când între virgulă și perioadă există una sau mai multe cifre care nu se repetă (de exemplu, 0,1(6), unde 1 este cifra neperiodică, iar 6 este perioada). Orice fracție ordinară ireductibilă poate fi transformată într-o fracție zecimală finită sau periodică. Transformarea inversă, din fracție zecimală periodică în fracție ordinară, se face folosind regula: pentru o fracție periodică simplă, se scrie la numărător perioada, iar la numitor atâtea cifre de 9 câte cifre are perioada.

De exemplu, 0,(3) = 3/9 = 1/3. Pentru o fracție periodică mixtă, se scrie la numărător diferența dintre numărul format din toate cifrele de după virgulă (inclusiv perioada) și numărul format din cifrele neperiodice, iar la numitor se scriu atâtea cifre de 9 câte cifre are perioada, urmate de atâtea zerouri câte cifre are partea neperiodică. De exemplu, 0,1(6) = (16-1)/90 = 15/90 = 1/6.

Este important de reținut că fracțiile zecimale periodice apar din împărțiri care nu se termină niciodată, dar au un tipar repetitiv. Acest concept este fundamental pentru înțelegerea numerelor raționale și pentru operațiile cu fracții.

Exemple

• Exemplul 1: Transformați fracția 1/3 în fracție zecimală. Efectuăm împărțirea 1 : 3 = 0,3333... Observăm că cifra 3 se repetă la infinit, deci scriem 0,(3). Perioada este 3.
• Exemplul 2: Transformați fracția zecimală periodică mixtă 0,2(7) în fracție ordinară. Avem o cifră neperiodică (2) și o cifră periodică (7). Aplicăm regula: numărător = 27 - 2 = 25, numitor = 90 (un 9 pentru perioadă și un 0 pentru cifra neperiodică). Rezultat: 25/90 = 5/18.
• Exemplul 3: Transformați fracția 0,(142857) în fracție ordinară. Perioada are 6 cifre: 142857. Aplicăm regula pentru periodică simplă: numărător = 142857, numitor = 999999. Simplificăm: 142857/999999 = 1/7 (deoarece 142857 * 7 = 999999).

Concepte cheie: Fracție zecimală periodică, Perioadă, Fracție periodică simplă, Fracție periodică mixtă, Transformare fracție zecimală periodică în fracție ordinară, Numitor format din 9 și 0