Numere prime si compuse. Descompunerea in factori primi

Numerele naturale mai mari decat 1 se impart in doua categorii: numere prime si numere compuse. Un numar natural n > 1 se numeste prim daca are exact doi divizori naturali: pe 1 si pe el insusi. De exemplu, 2, 3, 5, 7, 11, 13 sunt numere prime.

Un numar natural n > 1 se numeste compus daca are cel putin trei divizori naturali, adica poate fi scris ca produsul a doua numere naturale mai mici decat el. De exemplu, 4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 4, 9 = 3 × 3 sunt numere compuse. Numarul 1 nu este nici prim, nici compus, deoarece are un singur divizor (pe 1).

Orice numar compus poate fi descompus in factori primi, adica scris ca produs de numere prime. Descompunerea in factori primi se face prin impartiri repetate la numere prime, incepand cu cel mai mic numar prim (2), pana cand obtinem 1. De exemplu, pentru 60: 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1, deci 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2^2 × 3 × 5.

Putem folosi si un arbore de factorizare, descompunand numarul in doua numere mai mici, apoi continuand pana la factori primi. Este important de retinut ca fiecare numar compus are o descompunere unica in factori primi (Teorema fundamentala a aritmeticii), cu exceptia ordinii factorilor. Criteriile de divizibilitate (cu 2, 3, 5, 7, 11 etc.) ajuta la gasirea rapida a factorilor primi.

De exemplu, un numar par este intotdeauna divizibil cu 2, iar un numar care se termina in 0 sau 5 este divizibil cu 5. Pentru a verifica daca un numar este prim, putem testa impartirile la numere prime mai mici sau egale cu radacina patrata a numarului. De exemplu, 17 este prim deoarece nu se imparte exact la 2, 3 sau 5 (radacina patrata a lui 17 este aproximativ 4,12, deci testam pana la 4).

Descompunerea in factori primi este utila in operatii cu fractii (simplificare, aducere la acelasi numitor), calculul celui mai mare divizor comun (cmmdc) si al celui mai mic multiplu comun (cmmmc).

Exemple

• Exemplul 1: Descompuneti numarul 84 in factori primi. Rezolvare: Impartim succesiv la numere prime: 84 : 2 = 42, 42 : 2 = 21, 21 : 3 = 7, 7 : 7 = 1. Asadar 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2^2 × 3 × 7.
• Exemplul 2: Determinati daca 47 este numar prim sau compus. Rezolvare: Radacina patrata a lui 47 este aproximativ 6,85, deci testam impartirea la numere prime pana la 6: 2, 3, 5. 47 nu se imparte exact la niciunul dintre acestea (47:2=23,5; 47:3≈15,66; 47:5=9,4). Deci 47 are doar divizorii 1 si 47, deci este numar prim.
• Exemplul 3: Un numar este scris ca 2^3 × 3^2 × 5. Aflati numarul si descompuneti-l in factori primi (verificare). Rezolvare: Calculam: 2^3 = 8, 3^2 = 9, deci 8 × 9 = 72, apoi 72 × 5 = 360. Descompunerea in factori primi este: 360 = 2^3 × 3^2 × 5.

Concepte cheie: Numar prim: numar natural >1 cu exact doi divizori (1 si el insusi)., Numar compus: numar natural >1 cu cel putin trei divizori, poate fi scris ca produs de numere prime., Descompunerea in factori primi: scrierea unui numar compus ca produs de numere prime, unica (Teorema fundamentala a aritmeticii)., Metoda impartirilor repetate la numere prime, in ordine crescatoare, pana la obtinerea lui 1.