Bacalaureat Matematică 2020 — Sesiunea august

Calculați suma numerelor naturale de două cifre care dau restul 3 la împărțirea cu 5.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(x+1) + 2^x = 12.

Determinați numărul real m pentru care punctul A(2, -1) aparține graficului funcției f: R → R, f(x) = mx^2 - 3x + 5.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea {1, 2, 3, ..., 30}, acesta să fie divizibil cu 3 sau cu 5.

În triunghiul ABC, avem AB = 6, AC = 8 și măsura unghiului A este de 60°. Calculați lungimea laturii BC.

Se consideră matricea A = [[1, 2], [3, 4]] și matricea B = [[x, 1], [2, y]], unde x și y sunt numere reale. Determinați valorile lui x și y pentru care A·B = B·A.

Se consideră funcția f: R → R, f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. a) Calculați f'(x). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1. c) Studiați monotonia funcției f pe intervalul [0, 3].

Se consideră sistemul de ecuații: x + y + z = 3, 2x - y + z = 2, x + 2y - z = 1. a) Arătați că determinantul matricei sistemului este nenul. b) Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer.

Se consideră funcția f: R → R, f(x) = (x^2 + ax + 1)/(x^2 + 1), unde a este un parametru real. a) Determinați valorile lui a pentru care f este strict crescătoare pe R. b) Pentru a = 0, calculați integrala definită ∫_0^1 f(x) dx. c) Arătați că pentru orice a ∈ R, funcția f are cel puțin un punct de extrem local.

Se consideră funcția f: (0, ∞) → R, f(x) = ln x - x + 1. a) Calculați limita la infinit a funcției f. b) Determinați intervalele de convexitate/concavitate ale funcției f. c) Arătați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții reale distincte. d) Calculați aria suprafeței plane cuprinse între graficul funcției f, axa Ox și dreptele x = 1 și x = e.