Evaluarea Națională Matematică 2020

Calculați valoarea expresiei E = (2^3 · 3^2 - 4^2) : (5^2 - 3^2).

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x - 7 = 2x + 5.

Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x - 1. Calculați f(3) + f(-2).

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, acesta să fie divizibil cu 3.

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 3) și B(5, 7). Calculați lungimea segmentului AB.

Se consideră matricea A = [[1, 2], [3, 4]] și matricea B = [[2, 0], [1, 3]]. Calculați determinantul matricei A·B - B·A.

Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x. Calculați f'(x) și determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x = 1.

Se consideră sistemul de ecuații: x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2. Rezolvați sistemul în mulțimea numerelor reale.

Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + m, unde m este un parametru real. a) Calculați f'(x). b) Determinați valorile parametrului real m pentru care ecuația f(x) = 0 are exact două rădăcini reale distincte. c) Pentru m = 0, calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției f, axa Ox și dreptele x = 0 și x = 2.

Se consideră șirul (a_n)_{n≥1} definit prin a_1 = 2 și a_{n+1} = (a_n + 6)/2, pentru orice n ≥ 1. a) Calculați a_2 și a_3. b) Demonstrați prin inducție matematică că a_n < 6 pentru orice n ≥ 1. c) Demonstrați că șirul (a_n) este monoton crescător și determinați limita sa.