Pe scurt
Oscilațiile și undele mecanice sunt fenomene fundamentale care descriu mișcări periodice și propagarea energiei prin medii elastice. Pendulul matematic și resortul elastic sunt exemple clasice de mișcare armonică simplă (MAS), caracterizate prin perioade independente de amplitudine (pentru unghiuri mici) și respectiv dependente de masă și constantă elastică. Undele mecanice, fie transversale (coardă) sau longitudinale (sunet), transportă energie fără a transporta masă, iar viteza lor depinde de proprietățile mediului.
Mișcarea armonică simplă (MAS)
- Definiție: Mișcare periodică în care forța de revenire este proporțională cu deplasarea și orientată spre poziția de echilibru.
- Elongația: \( x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi) \)
- Viteza: \( v(t) = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \varphi) \)
- Accelerația: \( a(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega t + \varphi) \)
- Energia totală: constantă, \( E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 \), cu transformări periodice între energia cinetică și cea potențială.
Pendulul matematic (simplu)
- Forța de revenire: componenta tangențială a greutății.
- Condiția unghiurilor mici (\( \theta < 5^\circ \)): perioada \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), independentă de masă.
- Exemplu: Un pendul cu lungimea \( l = 1 \, \text{m} \) oscilează pe Pământ (\( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)). Perioada \( T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.8}} \approx 2.00 \, \text{s} \), frecvența \( f = 1/T \approx 0.5 \, \text{Hz} \).
Resortul elastic
- Legea lui Hooke: \( F = -k \cdot x \), unde \( k \) este constanta elastică.
- Perioada: \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \).
- Exemplu: Un resort cu \( k = 100 \, \text{N/m} \) și \( m = 0.25 \, \text{kg} \), deformat cu \( 5 \, \text{cm} \):
- Pulsația: \( \omega = \sqrt{\frac{100}{0.25}} = 20 \, \text{rad/s} \)
- Perioada: \( T = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314 \, \text{s} \)
- Energia totală: \( E = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0.05)^2 = 0.125 \, \text{J} \)
Undele mecanice
- Definiție: Propagarea unei perturbații printr-un mediu elastic, fără transport de masă, ci doar de energie.
- Clasificare:
-
Unde transversale: oscilația perpendiculară pe direcția de propagare (exemplu: coarda vibrantă, undele seismice S).
- Unde longitudinale: oscilația paralelă cu direcția de propagare (exemplu: sunetul în aer, undele seismice P).
- Pe o coardă: \( v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \), unde \( T \) este tensiunea, iar \( \mu \) densitatea liniară.
- În solide (unde longitudinale): \( v = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \), unde \( E \) este modulul Young, iar \( \rho \) densitatea.
- Ecuația de undă unidimensională: \( \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \)
- Funcția de undă armonică: \( y(x,t) = A \cdot \sin(\omega t - kx + \varphi) \), cu \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) numărul de undă și \( \omega = 2\pi f \) pulsația.
- Fenomene asociate: interferența (constructivă/destructivă), reflexia, refracția undelor, efectul Doppler (frecvent întâlnit în probleme de bacalaureat).
Exemplu: Unda transversală pe o coardă
O coardă de lungime \( L = 2 \, \text{m} \), masa \( m = 0.01 \, \text{kg} \), întinsă cu o forță \( T = 50 \, \text{N} \). Se produce o undă armonică de frecvență \( f = 10 \, \text{Hz} \) și amplitudine \( A = 0.02 \, \text{m} \):
- Densitatea liniară: \( \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.01}{2} = 0.005 \, \text{kg/m} \)
- Viteza: \( v = \sqrt{\frac{50}{0.005}} = 100 \, \text{m/s} \)
- Lungimea de undă: \( \lambda = \frac{v}{f} = \frac{100}{10} = 10 \, \text{m} \)
- Pulsația: \( \omega = 2\pi f = 62.8 \, \text{rad/s} \)
- Numărul de undă: \( k = \frac{2\pi}{\lambda} = 0.628 \, \text{rad/m} \)
- Ecuația de undă (faza inițială 0): \( y(x,t) = 0.02 \cdot \sin(62.8t - 0.628x) \) metri.
Verifică-te!
- Care este perioada unui pendul matematic cu lungimea de 0.5 m pe Pământ (\( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)) și de ce nu depinde de masa pendulului?
- Un resort cu constanta elastică \( k = 50 \, \text{N/m} \) și o masă de 0.1 kg oscilează. Care este pulsația și perioada mișcării?
- O undă transversală pe o coardă are viteza de 80 m/s și frecvența de 20 Hz. Care este lungimea de undă?