Reprezentarea numerelor in baze de numeratie (binar, hexa, conversii)

Sistemele de numeratie sunt metode de reprezentare a numerelor folosind un set de simboluri (cifre) si o baza (radacina). In informatica, cele mai importante baze sunt baza 10 (zecimala, uzuala), baza 2 (binara, folosita in calculatoare) si baza 16 (hexazecimala, utilizata pentru compactitate si vizualizare usoara a datelor binare).

Baza 2 (binar): Foloseste doar cifrele 0 si 1. Fiecare pozitie reprezinta o putere a lui 2: de la dreapta la stanga, bitul 0 (2^0), bitul 1 (2^1), etc. De exemplu, numarul binar 1011 = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 in zecimal.

Baza 16 (hexa): Foloseste 16 simboluri: 0-9 si A-F (unde A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Fiecare pozitie reprezinta o putere a lui 16. De exemplu, 2F in hexa = 2*16^1 + 15*16^0 = 32 + 15 = 47 in zecimal.

Conversii principale:

1. Din orice baza in zecimal: Se inmulteste fiecare cifra cu puterea corespunzatoare a bazei si se aduna.
2. Din zecimal in baza b (binar/hexa): Se imparte succesiv numarul la baza pana la 0, apoi se citesc resturile de la ultimul la primul (algoritmul impartirii).
3. Intre binar si hexa: Se grupeaza cifrele binare cate 4 (de la dreapta la stanga) si fiecare grup se inlocuieste cu echivalentul hexa.

Exemple de aplicare: Calculatoarele reprezinta toate datele in binar, dar pentru usurinta umana, folosim hexa pentru adrese de memorie, culori RGB, coduri de eroare. La BAC, veti intalni conversii simple si operatii aritmetice in baze, precum si completarea tabelelor de adevar sau reprezentari ale numerelor negative (complement fata de 2, dar pentru clasa 9-12, accentul pe conversii directe).

Exemple

• Exemplul 1: Convertiti numarul zecimal 53 in binar. Rezolvare: Impartim succesiv la 2: 53 : 2 = 26 rest 1; 26 : 2 = 13 rest 0; 13 : 2 = 6 rest 1; 6 : 2 = 3 rest 0; 3 : 2 = 1 rest 1; 1 : 2 = 0 rest 1. Citim resturile de la ultimul la primul: 110101. Deci 53(10) = 110101(2).
• Exemplul 2: Convertiti numarul binar 110101 in zecimal. Rezolvare: 110101(2) = 1*2^5 + 1*2^4 + 0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53(10).
• Exemplul 3: Convertiti numarul zecimal 255 in hexa. Rezolvare: Impartim la 16: 255 : 16 = 15 rest 15 (F); 15 : 16 = 0 rest 15 (F). Citim resturile: FF. Deci 255(10) = FF(16). Alternativ, putem converti mai intai in binar (11111111) si apoi grupat cate 4: 1111 1111 = F F.

Concepte cheie: Baza de numeratie (radacina) determina numarul de simboluri distincte., Conversia din orice baza in zecimal se face prin inmultirea cifrelor cu puterile bazei., Conversia din zecimal intr-o baza oarecare se face prin impartiri succesive la baza respectiva si citirea resturilor invers., Binarul este baza calculatorului, iar hexa este o reprezentare compacta a binarului (1 cifra hexa = 4 biti)., Gruparea binara in tetrade (cate 4 biti) usureaza conversia binar-hexa.