Fizica: Oscilatii si unde mecanice

Oscilatiile mecanice reprezinta miscarea periodica a unui corp in jurul unei pozitii de echilibru. Cel mai simplu model este oscilatorul armonic simplu, compus dintr-un corp de masa m atasat unui resort ideal cu constanta elastica k. Conform legii lui Hooke, forta elastica este F = -k·x, iar din legea a doua a lui Newton obtinem ecuatia diferentiala: m·a + k·x = 0, sau d²x/dt² + (k/m)·x = 0.

Solutia acestei ecuatii este x(t) = A·sin(ω·t + φ_0), unde A este amplitudinea, φ_0 faza initiala, iar ω = √(k/m) este pulsatia. Perioada T = 2π/ω = 2π·√(m/k), iar frecventa ν = 1/T. Energia mecanica totala a oscilatorului armonic este constanta si se conserva: E_total = E_c + E_p = (1/2)·k·A², unde energia cinetica E_c = (1/2)·m·v² si energia potentiala elastica E_p = (1/2)·k·x².

In cazul pendulului gravitational simplu, pentru unghiuri mici (sinθ ≈ θ), perioada este T = 2π·√(L/g), independenta de masa. Oscilatiile amortizate apar datorita fortelor de frecare (de obicei proportionale cu viteza), iar ecuatia devine m·a + b·v + k·x = 0, cu solutii care descriu o amplitudine exponential descrescatoare. Daca amortizarea este critica, sistemul revine la echilibru in cel mai scurt timp fara a oscila.

Oscilatiile fortate se produc atunci cand o forta periodica externa actioneaza asupra sistemului. La rezonanta, cand frecventa fortei coincide cu frecventa proprie a sistemului, amplitudinea devine maxima, fenomen important in aplicatii practice (distrugerea podurilor, acordarea instrumentelor muzicale). Undele mecanice sunt perturbatii care se propaga printr-un mediu elastic, transportand energie fara a transporta materia.

Ele pot fi longitudinale (deplasarea particulelor paralela cu directia de propagare, ca in cazul sunetului) sau transversale (deplasare perpendiculara, ca la coarda vibranta). Relatia fundamentala a undelor este v = λ·ν, unde v este viteza de propagare, λ lungimea de unda, ν frecventa. Pentru unde intr-o coarda intinsa, viteza este v = √(F/μ), cu F tensiunea si μ densitatea liniara.

Interferenta undelor conduce la fenomene de maxima (constructiva) si minima (destructiva), iar difractia reprezinta ocolirea obstacolelor de catre unde. Principiul lui Huygens: fiecare punct al unui front de unda devine sursa de unde secundare. Efectul Doppler: frecventa perceputa se modifica atunci cand sursa sau observatorul se misca relativ la mediu.

Exemple

• Exemplul 1: Un corp de masa m = 0,5 kg este atasat unui resort cu constanta k = 50 N/m si este tras 4 cm din pozitia de echilibru, apoi lasat liber. Calculati: a) pulsatia ω, b) perioada T, c) energia totala. Rezolvare: a) ω = √(k/m) = √(50/0,5) = √100 = 10 rad/s. b) T = 2π/ω = 2·3,14/10 = 0,628 s. c) E_total = (1/2)·k·A² = 0,5·50·(0,04)² = 0,5·50·0,0016 = 0,04 J.
• Exemplul 2: Un pendul simplu cu lungimea L = 1 m este deplasat cu 10° fata de verticala si lasat liber. Calculati perioada (g = 9,8 m/s²). Rezolvare: Pentru unghiuri mici, T = 2π·√(L/g) = 2·3,14·√(1/9,8) = 6,28·0,319 = 2,006 s. Deci T ≈ 2 s.
• Exemplul 3: O coarda metalica de lungime 2 m si masa 10 g este intinsa cu o forta de 200 N. Calculati viteza de propagare a undelor transversale. Rezolvare: Densitatea liniara μ = m/L = 0,01 kg / 2 m = 0,005 kg/m. v = √(F/μ) = √(200 / 0,005) = √40000 = 200 m/s. Daca frecventa undelor este 100 Hz, lungimea de unda λ = v/ν = 200/100 = 2 m.

Concepte cheie: Oscilator armonic simplu si ecuatia diferentiala, Legea lui Hooke si forta elastica, Pulsatia, perioada si frecventa, Energia totala in oscilatii, Pendulul gravitational simplu, Oscilatii amortizate si fortate, Rezonanta mecanica, Undele transversale si longitudinale, Viteza de propagare a undelor, Relatia v = λ·ν, Interferenta si difractia undelor, Efectul Doppler sonor