Tabele de adevăr pentru propoziții compuse (medium)

În logică, o propoziție compusă se obține prin combinarea a două sau mai multe propoziții simple (atomice) cu ajutorul operatorilor logici. Pentru a evalua valoarea de adevăr a unei propoziții compuse în toate situațiile posibile, folosim tabelele de adevăr. Fiecare propoziție simplă poate fi adevărată (A) sau falsă (F), iar combinațiile acestor valori generează rândurile tabelului.

Principalii operatori logici sunt: conjuncția (ȘI, notată ∧) – adevărată doar când ambele propoziții sunt adevărate; disjuncția (SAU, notată ∨) – adevărată dacă cel puțin una dintre propoziții este adevărată; negația (NU, notată ¬) – inversează valoarea de adevăr; implicația (DACĂ...ATUNCI, notată →) – falsă doar când prima propoziție este adevărată și a doua falsă; echivalența (DACĂ ȘI NUMAI DACĂ, notată ↔) – adevărată când ambele propoziții au aceeași valoare de adevăr. De exemplu, pentru propoziția compusă (p ∧ q) ∨ ¬r, construim un tabel cu 3 variabile (p, q, r), deci 8 rânduri (2^3). Calculăm întâi p ∧ q, apoi ¬r, iar la final ∨.

Tabelele de adevăr ne ajută să înțelegem structura logică a afirmațiilor, să demonstrăm echivalențe (de exemplu, legile lui De Morgan) și să verificăm validitatea raționamentelor. Pentru elevii de gimnaziu, este important să exerseze cu propoziții simple din viața cotidiană, cum ar fi „Astăzi este luni și plouă” sau „Dacă termin tema, atunci mă joc”. Construirea sistematică a tabelelor dezvoltă gândirea analitică și capacitatea de a lua decizii bazate pe condiții.

Vom aborda acum trei exemple concrete, de dificultate medie, apoi exerciții variate.

Exemple

• Exemplul 1: Fie p = „Este soare”, q = „Este cald”. Construiți tabelul de adevăr pentru propoziția compusă „Nu este soare sau (este soare și este cald)”, adică ¬p ∨ (p ∧ q). Tabelul are 4 rânduri (p și q). Calculăm: ¬p, apoi p ∧ q, apoi ∨. Rezultat: când p=A, q=A → ¬p=F, p∧q=A → F∨A=A; când p=A, q=F → ¬p=F, p∧q=F → F∨F=F; când p=F, q=A → ¬p=A, p∧q=F → A∨F=A; când p=F, q=F → ¬p=A, p∧q=F → A∨F=A. Observăm că propoziția este falsă doar când este soare dar nu este cald.
• Exemplul 2: Fie p = „Am terminat lecțiile”, q = „Mă uit la televizor”. Construiți tabelul pentru „Dacă am terminat lecțiile, atunci mă uit la televizor”, adică p → q. Tabelul: p=A,q=A → A→A=A; p=A,q=F → A→F=F; p=F,q=A → F→A=A; p=F,q=F → F→F=A. Deci implicația este falsă numai atunci când am terminat lecțiile dar nu mă uit la televizor. Discutăm cu elevii: promisiunea este încălcată doar în acel caz.
• Exemplul 3: Fie p = „Plouă”, q = „Vântul suflă”, r = „Ies cu umbrela”. Construiți tabelul pentru (p ∨ q) → r. Avem 3 variabile, deci 8 rânduri. Calculăm p∨q, apoi implicația. De exemplu, când p=A,q=A,r=A: p∨q=A, A→A=A; p=A,q=A,r=F: p∨q=A, A→F=F; p=A,q=F,r=A: p∨q=A, A→A=A; p=A,q=F,r=F: A→F=F; p=F,q=A,r=A: A→A=A; p=F,q=A,r=F: A→F=F; p=F,q=F,r=A: F→A=A; p=F,q=F,r=F: F→F=A. Observăm că propoziția compusă este falsă doar când plouă sau bate vântul, dar nu ies cu umbrela.

Concepte cheie: Propoziție simplă (atomică) și propoziție compusă, Operatori logici: ∧ (ȘI), ∨ (SAU), ¬ (NU), → (IMPLICAȚIE), ↔ (ECHIVALENȚĂ), Construirea tabelului de adevăr pas cu pas, Numărul de rânduri = 2^n, unde n = numărul de variabile, Implicația p→q este falsă doar când p=A și q=F, Echivalența p↔q este adevărată când p și q au aceeași valoare, Legile lui De Morgan: ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q, ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q