Disjuncția (incluziva): definiție, tabela de adevăr, exerciții

Bună, dragi elevi! Astăzi vom discuta despre unul dintre operatorii logici fundamentali: disjuncția incluzivă, cunoscută și sub numele de 'sau logic'. În matematică și în logică, folosim propoziții care pot fi adevărate sau false.

Disjuncția ne permite să combinăm două propoziții (notate cu p și q) într-o singură propoziție compusă: 'p sau q'. Spre deosebire de limbajul cotidian, unde 'sau' poate fi exclusiv (adică una dintre variante, dar nu ambele), în logică disjuncția incluzivă înseamnă că propoziția compusă este adevărată dacă cel puțin una dintre propozițiile componente este adevărată. Cu alte cuvinte, 'p SAU q' este fals doar atunci când ambele propoziții p și q sunt false.

Pentru a reprezenta această operație, folosim simbolul '∨' (sau adesea '+' în algebra booleană). Astfel, p ∨ q se citește 'p sau q'. Să construim tabela de adevăr: avem patru combinații posibile pentru valorile de adevăr ale lui p și q (A = adevărat, F = fals).

Dacă p = A și q = A, atunci p∨q = A. Dacă p = A și q = F, atunci p∨q = A. Dacă p = F și q = A, atunci p∨q = A.

În final, doar când p = F și q = F, p∨q = F. Acest lucru este ușor de reținut: 'sau' este generos, acceptă orice adevăr, chiar și pe cel mai mic. Disjuncția incluzivă apare frecvent în enunțuri matematice, de exemplu: 'Un număr este divizibil cu 2 sau cu 3' – această propoziție este adevărată pentru numere ca 2 (divizibil cu 2, dar nu cu 3), 3 (divizibil cu 3, dar nu cu 2) și 6 (divizibil cu ambele).

Este falsă doar pentru numere care nu sunt divizibile nici cu 2, nici cu 3, cum ar fi 5. Este important să nu confundăm disjuncția incluzivă cu cea exclusivă (ori unul, ori celălalt, dar nu ambele). În exercițiile noastre, vom lucra cu disjuncția incluzivă.

Să trecem la exemple pentru a fixa cunoștințele!

Exemple

• Exemplul 1: Fie p = 'Astăzi este luni', q = 'Astăzi este marți'. Atunci p ∨ q = 'Astăzi este luni sau astăzi este marți'. Această propoziție compusă este adevărată dacă astăzi este luni sau marți (sau ambele, dar nu pot fi ambele în același timp) – deci adevărată în două zile și falsă în celelalte cinci zile. Observați că în realitate nu putem avea ambele zile simultan, dar în logică noi evaluăm doar pe baza valorilor de adevăr ale propozițiilor.
• Exemplul 2: Considerăm propozițiile: p = '3 este mai mare decât 5' (falsă), q = '4 este un număr par' (adevărată). Atunci p ∨ q = '3 este mai mare decât 5 sau 4 este un număr par'. Evaluăm: p este fals, q este adevărat, deci disjuncția este adevărată (pentru că cel puțin una este adevărată). Răspuns: adevărat.
• Exemplul 3: Să construim un tabel pentru p = 'Triunghiul are trei laturi' (adevărat), q = 'Pătratul are cinci laturi' (fals). p ∨ q = A ∨ F = A. Dacă p = '2+2=5' (fals) și q = 'Soarele este rece' (fals), atunci p ∨ q = F ∨ F = F. Observăm că doar atunci când ambele sunt false, disjuncția este falsă.

Concepte cheie: Disjuncția incluzivă (sau logic) - operație logică între două propoziții, notată p ∨ q, Tabela de adevăr: p∨q este adevărată dacă cel puțin una dintre p, q este adevărată; falsă doar când ambele sunt false, Simbolul '∨' reprezintă disjuncția, iar în expresii se citește 'sau', Diferența dintre disjuncția incluzivă (sau generos) și cea exclusivă (ori una, ori alta, nu ambele), Aplicarea în propoziții matematice și evaluarea valorii de adevăr